MyStudy

Отношения и пропорции — 6 класс

Отношение чисел, пропорция и её основное свойство, деление в отношении, масштаб, прямая и обратная пропорциональность.

Отношение чисел

Ребёнок научится: находит и упрощает отношение двух чисел и величин.

Правило

Отношение a : b показывает, во сколько раз a больше b или какую часть a составляет от b. Отношение не меняется, если оба члена умножить или разделить на одно число: 12 : 18 = 2 : 3. Величины перед этим переводим в одинаковые единицы.

Пример с решением

Замени отношение отношением натуральных чисел без общего делителя

10 : 16 = :
  1. Делим оба члена на 2: 10 : 16 = 5 : 8.

Ответ: 5 : 8

Задания для тренировки

  1. 1. Замени отношение отношением натуральных чисел без общего делителя

    48 : 6 = :

  2. 2. Замени отношение отношением натуральных чисел без общего делителя

    9 : 54 = :

  3. 3. Найди отношение (в одинаковых единицах)

    5 м : 55 см = :

  4. 4. Найди отношение (в одинаковых единицах)

    1 м : 85 см = :

  5. 5. Какую часть первое число составляет от второго? ★

    45 от 72:

  6. 6. Какую часть первое число составляет от второго? ★

    18 от 63:
Ответы
  1. 8 : 1
  2. 1 : 6
  3. 100 : 11
  4. 20 : 17
  5. 5/8
  6. 2/7

Частые ошибки

  • Сравнивает величины в разных единицах (1 м : 20 см = 1 : 20).
  • Путает порядок членов отношения.

Как закрепить дома: Обсуждайте рецепты: «2 стакана муки на 1 стакан молока — отношение 2 : 1».

Цели обучения типовой программы
  • 6.1.2.1 — усвоить понятие отношения чисел
  • 6.1.2.2 — находить отношение, обратное данному отношению
  • 6.5.2.1 — читать и записывать отношения двух чисел
  • 6.1.1.1 — понимать, что показывает отношение двух чисел

Пропорция и её основное свойство

Ребёнок научится: находит неизвестный член пропорции.

Правило

Пропорция — равенство двух отношений: a : b = c : d. Произведение крайних членов равно произведению средних: a · d = b · c. Отсюда неизвестный член: x : 4 = 15 : 6 → x = 4 · 15 : 6 = 10.

Пример с решением

Найди неизвестный член пропорции

x : 12 = 16 : 48
x =
  1. Произведение крайних равно произведению средних: x · 48 = 12 · 16.
  2. x = 192 : 48 = 4.

Ответ: 4

Задания для тренировки

  1. 1. Найди неизвестный член пропорции

    x : 6 = 119 : 42
    x =

  2. 2. Найди неизвестный член пропорции

    x : 9 = 252 : 81
    x =

  3. 3. Найди неизвестный член пропорции

    4 : x = 28 : 112
    x =

  4. 4. Найди неизвестный член пропорции

    8 : x = 64 : 24
    x =

  5. 5. Реши задачу ★

    За 5 кг яблок заплатили 3000 тенге. Сколько стоят 7 кг таких яблок?

  6. 6. Реши задачу ★

    За 3 кг яблок заплатили 1050 тенге. Сколько стоят 12 кг таких яблок?

Ответы
  1. 17
  2. 28
  3. 16
  4. 3
  5. 4200 ₸
  6. 4200 ₸

Частые ошибки

  • Перемножает не те члены.
  • Делит не на тот член.

Как закрепить дома: Задачи «за 3 тетради — 600 ₸, а за 5?» решаются пропорцией.

Цели обучения типовой программы
  • 6.1.2.3 — знать определение пропорции
  • 6.1.2.4 — распознавать и составлять пропорции
  • 6.1.2.5 — знать и применять основное свойство пропорции
  • 6.5.2.2 — читать и записывать пропорции

Деление в данном отношении

Ребёнок научится: делит число на части в заданном отношении.

Правило

Чтобы разделить число в отношении 2 : 3, считаем части: 2 + 3 = 5; одна часть — число : 5; первая часть — 2 таких, вторая — 3.

Пример с решением

Раздели число в данном отношении

288 в отношении 2 : 7: и
  1. Всего частей: 2 + 7 = 9; одна часть: 288 : 9 = 32.
  2. 32 · 2 = 64, 32 · 7 = 224.

Ответ: 64 и 224

Задания для тренировки

  1. 1. Раздели число в данном отношении

    50 в отношении 4 : 1: и

  2. 2. Раздели число в данном отношении

    154 в отношении 4 : 7: и

  3. 3. Реши задачу

    Три друга собрали 30 кг яблок и делят их в отношении 1 : 4 : 5. Сколько килограммов получит третий друг?

  4. 4. Реши задачу

    Три друга собрали 144 кг яблок и делят их в отношении 5 : 2 : 5. Сколько килограммов получит третий друг?

  5. 5. Раздели число на части, обратно пропорциональные данным числам ★

    90 обратно пропорционально 4 и 5: и

  6. 6. Раздели число на части, обратно пропорциональные данным числам ★

    98 обратно пропорционально 3 и 4: и
Ответы
  1. 40 и 10
  2. 56 и 98
  3. 15 кг
  4. 60 кг
  5. 50 и 40
  6. 56 и 42

Частые ошибки

  • Делит на 2 и на 3 отдельно.
  • Забывает сложить части.

Как закрепить дома: Делите конфеты между детьми «по возрасту» — так и появляется деление в отношении.

Цели обучения типовой программы
  • 6.1.2.6 — делить величины в заданном отношении
  • 6.1.2.7 — делить величины на части, обратно пропорциональные данным числам

Прямая и обратная пропорциональность

Ребёнок научится: решает задачи с прямо и обратно пропорциональными величинами.

Правило

Прямая: во сколько раз увеличивается одна величина, во столько же раз увеличивается другая (количество и стоимость). Обратная: одна увеличивается — другая во столько же раз уменьшается (скорость и время на одном пути).

Пример с решением

Реши задачу

За 6 часов насос перекачивает 42 м³ воды. Сколько кубометров он перекачает за 3 часа?

  1. Объём прямо пропорционален времени: 42 : 6 · 3 = 21 (м³).

Ответ: 21 м³

Задания для тренировки

  1. 1. Реши задачу

    За 5 часов насос перекачивает 75 м³ воды. Сколько кубометров он перекачает за 11 часов?

  2. 2. Реши задачу

    За 6 часов насос перекачивает 24 м³ воды. Сколько кубометров он перекачает за 10 часов?

  3. 3. Реши задачу

    6 рабочих выполнят работу за 20 дней. За сколько дней выполнят ту же работу 30 рабочих, если они работают с той же производительностью?

  4. 4. Реши задачу

    6 рабочих выполнят работу за 12 дней. За сколько дней выполнят ту же работу 24 рабочих, если они работают с той же производительностью?

  5. 5. Реши задачу ★

    Автомобиль проехал путь за 6 часов со скоростью 120 км/ч. За сколько часов он проедет тот же путь со скоростью 40 км/ч?

  6. 6. Реши задачу ★

    Автомобиль проехал путь за 8 часов со скоростью 120 км/ч. За сколько часов он проедет тот же путь со скоростью 60 км/ч?

Ответы
  1. 165 м³
  2. 40 м³
  3. 4 дня
  4. 3 дня
  5. 18 ч
  6. 16 ч

Частые ошибки

  • Решает задачу на обратную пропорциональность как на прямую.
  • Неверно составляет пропорцию.

Как закрепить дома: Спрашивайте: «Если ехать в 2 раза быстрее, во сколько раз меньше времени?»

Цели обучения типовой программы
  • 6.1.1.2 — понимать, какие величины являются прямо- пропорциональными, приводить примеры, решать задачи
  • 6.1.1.3 — понимать, какие величины являются обратно пропорциональными, приводить примеры, решать задачи
  • 6.5.1.1 — распознавать и решать задачи, в которых величины связаны прямой и обратной пропорциональностями
  • 6.1.2.23 — распознавать прямо пропорциональные зависимости и приводить примеры

Масштаб

Ребёнок научится: находит расстояние на местности по карте и на карте по местности.

Правило

Масштаб 1 : 100 000 означает: 1 см на карте — 100 000 см = 1 км на местности. Расстояние на местности = расстояние на карте · знаменатель масштаба.

Пример с решением

Реши задачу

Масштаб карты 1 : 500 000. Расстояние между сёлами на карте 6 см. Каково расстояние на местности в километрах?

  1. 1 см на карте — 500 000 см = 5 км.
  2. 6 · 5 = 30 (км).

Ответ: 30 км

Задания для тренировки

  1. 1. Реши задачу

    Масштаб карты 1 : 500 000. Расстояние между сёлами на карте 12 см. Каково расстояние на местности в километрах?

  2. 2. Реши задачу

    Масштаб карты 1 : 200 000. Расстояние между сёлами на карте 2 см. Каково расстояние на местности в километрах?

  3. 3. Реши задачу

    Расстояние между городами 100 км. Какое расстояние между ними на карте масштаба 1 : 5 000 000?

  4. 4. Реши задачу

    Расстояние между городами 40 км. Какое расстояние между ними на карте масштаба 1 : 2 000 000?

  5. 5. Найди масштаб карты ★

    7 см на карте — 70 км на местности. Масштаб 1 :

  6. 6. Найди масштаб карты ★

    5 см на карте — 5 км на местности. Масштаб 1 :
Ответы
  1. 60 км
  2. 4 км
  3. 2 см
  4. 2 см
  5. 1000000
  6. 100000

Частые ошибки

  • Забывает перевести сантиметры в километры.
  • Делит вместо умножения.

Как закрепить дома: Посмотрите вместе масштаб на карте области или в навигаторе.

Цели обучения типовой программы
  • 6.1.1.5 — усвоить понятие масштаба
  • 6.5.1.3 — применять масштаб при работе с картой, планом, чертежом

Задачи на проценты с помощью пропорции

Ребёнок научится: решает задачи на проценты пропорцией, в том числе на повышение и снижение цены.

Правило

Составляем пропорцию: число — 100 %, часть — x %. 300 — 100 %, 45 — x % → x = 45 · 100 : 300 = 15 %. Повышение на 20 % — это 120 % от старой цены.

Пример с решением

Реши пропорцией

9 от 60 — это %
  1. 60 — 100 %, 9 — x %.
  2. x = 9 · 100 : 60 = 15.

Ответ: 15 %

Задания для тренировки

  1. 1. Реши пропорцией

    51 от 60 — это %

  2. 2. Реши пропорцией

    324 от 540 — это %

  3. 3. Реши задачу

    Цена куртки была 4800 тенге, затем её повысили на 10 %. Какой стала цена?

  4. 4. Реши задачу

    Цена куртки была 5700 тенге, затем её повысили на 20 %. Какой стала цена?

  5. 5. Реши задачу ★

    Товар стоил 4800 тенге. Сначала цену повысили на 50 %, а потом снизили на 50 %. Сколько стоит товар теперь?

  6. 6. Реши задачу ★

    Товар стоил 2800 тенге. Сначала цену повысили на 20 %, а потом снизили на 20 %. Сколько стоит товар теперь?

Ответы
  1. 85 %
  2. 60 %
  3. 5280 ₸
  4. 6840 ₸
  5. 3600 ₸
  6. 2688 ₸

Частые ошибки

  • Считает процент не от того числа.
  • Повышение на 20 % и снижение на 20 % считает взаимно компенсирующимися.

Как закрепить дома: Проверяйте чеки со скидкой: «было — стало — сколько процентов скидка?»

Цели обучения типовой программы
  • 6.5.1.2 — решать задачи на проценты с помощью пропорции