MyStudy

Натуральные числа и делимость — 5 класс

Порядок действий, степени, признаки делимости, простые числа, НОД и НОК.

Порядок действий с натуральными числами

Ребёнок научится: находит значение выражения в 4–5 действий со скобками и использует свойства действий.

Правило

Сначала скобки, затем степени, потом умножение и деление слева направо, в конце сложение и вычитание. Свойства помогают считать устно: 25 · 17 · 4 = (25 · 4) · 17 = 1700.

Пример с решением

Вычисли

829 − 38 · 7 + 126 : 2 =
  1. 1) 38 · 7 = 266.
  2. 2) 126 : 2 = 63.
  3. 3) 829 − 266 = 563.
  4. 4) 563 + 63 = 626.

Ответ: 626

Задания для тренировки

  1. 1. Вычисли

    609 − 28 · 8 + 75 : 3 =

  2. 2. Вычисли

    886 − 12 · 4 + 92 : 2 =

  3. 3. Вычисли

    (36 + 41) · 5 + 991 =

  4. 4. Вычисли

    (21 + 41) · 9 + 479 =

  5. 5. Вычисли удобным способом ★

    50 · 80 · 2 =

  6. 6. Вычисли удобным способом ★

    50 · 38 · 2 =
Ответы
  1. 410
  2. 884
  3. 1376
  4. 1037
  5. 8000
  6. 3800

Частые ошибки

  • Считает слева направо без учёта приоритета.
  • Не замечает удобных пар (25 и 4, 125 и 8).

Как закрепить дома: Просите сначала расставить номера действий, а потом считать.

Цели обучения типовой программы
  • 5.1.2.2 — устанавливать порядок действий и находить значения числовых выражений со скобками и без скобок, содержащих более четырёх действий
  • 5.1.2.3 — использовать свойства сложения и умножения для нахождения значений числовых выражений

Степень числа

Ребёнок научится: вычисляет квадраты и кубы чисел, записывает произведение одинаковых множителей степенью.

Правило

Степень aⁿ — произведение n одинаковых множителей a: 5³ = 5 · 5 · 5 = 125. Степень вычисляется раньше умножения и сложения.

Пример с решением

Вычисли

3³ =
  1. 3³ = 3 · 3 · 3 = 27.

Ответ: 27

Задания для тренировки

  1. 1. Вычисли

    8² =

  2. 2. Вычисли

    2³ =

  3. 3. Вычисли

    4² =

  4. 4. Вычисли

    8² + 5³ · 5 =

  5. 5. Вычисли

    6² + 3³ · 6 =

  6. 6. Найди число ★

    ² = 36
Ответы
  1. 64
  2. 8
  3. 16
  4. 689
  5. 198
  6. 6

Частые ошибки

  • Умножает основание на показатель: 2³ = 6.
  • Выполняет сложение раньше степени.

Как закрепить дома: Выучите квадраты чисел до 15 и кубы до 5 — пригодится во всех классах.

Цели обучения типовой программы
  • 5.1.2.4 — записывать произведение одинаковых чисел в виде степени
  • 5.1.1.3 — знать определение степени натурального числа

Делители, кратные и признаки делимости

Ребёнок научится: применяет признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, находит делители и кратные.

Правило

На 2 делятся числа, оканчивающиеся чётной цифрой; на 5 — на 0 или 5; на 10 — на 0. На 3 (на 9) — если сумма цифр делится на 3 (на 9). Делитель числа делит его без остатка, кратное делится на число без остатка.

Пример с решением

Делится ли число на 3?

30 029
  1. Сумма цифр: 3 + 0 + 0 + 2 + 9 = 14.
  2. 14 не делится на 3, значит и 30 029 не делится.

Ответ: нет

Задания для тренировки

  1. 1. Делится ли число на 3?

    90 229

  2. 2. Делится ли число на 9?

    83 912

  3. 3. Сколько делителей у числа?

    Число 46: делителей

  4. 4. Сколько делителей у числа?

    Число 22: делителей

  5. 5. Какую наименьшую цифру (не 0) вставить, чтобы число делилось на 3? ★

    541

  6. 6. Какую наименьшую цифру (не 0) вставить, чтобы число делилось на 9? ★

    361
Ответы
  1. нет
  2. нет
  3. 4
  4. 4
  5. 2
  6. 8

Частые ошибки

  • Проверяет делимость на 3 по последней цифре.
  • Путает делители и кратные.

Как закрепить дома: Играйте: называйте число, ребёнок быстро говорит, на что из 2, 3, 5, 9, 10 оно делится.

Цели обучения типовой программы
  • 5.1.2.5 — применять признаки делимости натуральных чисел на 2, 5, 10
  • 5.1.2.6 — применять признаки делимости натуральных чисел на 3 и 9
  • 5.1.2.8 — находить делители натуральных чисел
  • 5.1.2.9 — находить кратные натуральных чисел

Простые и составные числа, разложение на множители

Ребёнок научится: отличает простые числа от составных и раскладывает число на простые множители.

Правило

Простое число делится только на 1 и на себя (2, 3, 5, 7, 11, 13…). Составное можно разложить на простые множители: 60 = 2 · 2 · 3 · 5. Число 1 — ни простое, ни составное.

Пример с решением

Простое или составное число?

63
  1. 63 делится на 3 (63 : 3 = 21) — составное.

Ответ: составное

Задания для тренировки

  1. 1. Простое или составное число?

    25

  2. 2. Простое или составное число?

    17

  3. 3. Разложи на простые множители и найди наибольший

    147 =

  4. 4. Разложи на простые множители и найди наибольший

    117 =

  5. 5. Сколько простых чисел? ★

    от 39 до 49 включительно:

  6. 6. Сколько простых чисел? ★

    от 79 до 89 включительно:
Ответы
  1. составное
  2. простое
  3. 7
  4. 13
  5. 3
  6. 3

Частые ошибки

  • Считает 1 простым числом.
  • Считает все нечётные числа простыми (9, 15, 21).

Как закрепить дома: Составьте вместе таблицу простых чисел до 50 «решетом Эратосфена».

Цели обучения типовой программы
  • 5.1.2.7 — раскладывать составные числа на простые множители
  • 5.1.1.6 — знать определения простого и составного чисел

НОД и НОК

Ребёнок научится: находит наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел.

Правило

НОД — самое большое число, на которое делятся оба числа. НОК — самое маленькое число, которое делится на оба. Через разложение: 12 = 2·2·3, 18 = 2·3·3; НОД = 2·3 = 6, НОК = 2·2·3·3 = 36.

Пример с решением

Найди наибольший общий делитель

НОД(63; 18) =
  1. 63 = 9 · 7, 18 = 9 · 2; 7 и 2 — взаимно простые.
  2. НОД = 9.

Ответ: 9

Задания для тренировки

  1. 1. Найди наибольший общий делитель

    НОД(105; 45) =

  2. 2. Найди наибольший общий делитель

    НОД(21; 15) =

  3. 3. Найди наименьшее общее кратное

    НОК(25; 20) =

  4. 4. Найди наименьшее общее кратное

    НОК(14; 26) =

  5. 5. Реши задачу ★

    Из 21 яблока и 12 груш нужно составить одинаковые подарки, использовав все фрукты. Какое наибольшее число подарков можно составить?

  6. 6. Реши задачу ★

    Из 22 яблок и 55 груш нужно составить одинаковые подарки, использовав все фрукты. Какое наибольшее число подарков можно составить?

Ответы
  1. 15
  2. 3
  3. 100
  4. 182
  5. 3 подарка
  6. 11 подарков

Частые ошибки

  • Путает НОД и НОК.
  • Берёт произведение чисел вместо НОК.

Как закрепить дома: Решайте задачи «из 24 яблок и 36 груш составить одинаковые подарки» — это НОД.

Цели обучения типовой программы
  • 5.1.2.12 — находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух и более чисел
  • 5.1.1.7 — знать определения понятий общий делитель, общее кратное, наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
  • 5.5.1.2 — использовать наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное при решении текстовых задач