Координатная плоскость и симметрия — 6 класс

Координаты точки, четверти, параллельные и перпендикулярные прямые, осевая и центральная симметрия, пространственные фигуры, вектор.

Параллельные и перпендикулярные прямые

Ребёнок научится: распознаёт параллельные и перпендикулярные отрезки на клетчатой бумаге, считает точки пересечения прямых.

Пройти урок онлайн

Правило

Две прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны (не пересекаются никогда). Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом. На клетках: отрезки параллельны, если «шаги» по клеткам пропорциональны (вправо 2, вверх 1 и вправо 4, вверх 2); перпендикулярны, если шаги «поворачиваются»: (2; 1) и (−1; 2).

Пример с решением

Какой отрезок перпендикулярен отрезку AB?

ABCDEFMN
CDEFMN
  1. AB: на 1 клетку вправо и на 3 вверх — «шаг» (1; 3).
  2. Перпендикулярный шаг получается поворотом: (−3; 1). Так идёт отрезок EF.

Ответ: EF

Задания для тренировки

  1. 1. Какой отрезок перпендикулярен отрезку AB?

    ABCDEFMN
    CDEFMN

  2. 2. Какой отрезок параллелен отрезку AB?

    ABCDEFMN
    CDEFMN

  3. 3. Как расположены прямые AB и CD?

    ABCD
    параллельныперпендикулярныпересекаются не под прямым углом

  4. 4. Как расположены прямые AB и CD?

    ABCD
    параллельныперпендикулярныпересекаются не под прямым углом

  5. 5. На плоскости 9 прямых: две из них параллельны, а остальные пересекают все другие прямые, и никакие три не проходят через одну точку. Сколько точек пересечения? ★

    Точек:

  6. 6. На плоскости 6 прямых, никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Сколько точек пересечения? ★

    Точек:
Ответы
  1. MN
  2. MN
  3. пересекаются не под прямым углом
  4. параллельны
  5. 35
  6. 15

Частые ошибки

  • Считает параллельными отрезки, которые просто «похоже наклонены».
  • Принимает за перпендикулярные любые пересекающиеся отрезки.
  • Забывает, что параллельные прямые не пересекаются и при продолжении.

Как закрепить дома: Найдите дома параллельные и перпендикулярные линии: рельсы, края стола, оконная рама.

Цели обучения типовой программы
  • 6.3.2.1 — знать определения пересекающихся, параллельных, перпендикулярных прямых
  • 6.3.2.2 — распознавать перпендикулярные, параллельные прямые и отрезки

Координатная плоскость

Ребёнок научится: находит координаты точки, строит точку по координатам, определяет четверть, находит пересечение отрезка с осями и площадь прямоугольника по вершинам.

Пройти урок онлайн

Правило

Точка на плоскости задаётся парой чисел (x; y): первое — абсцисса (по горизонтальной оси Ox), второе — ордината (по вертикальной оси Oy). Оси делят плоскость на четыре четверти: I — (+; +), II — (−; +), III — (−; −), IV — (+; −). Точки на оси Ox имеют y = 0, на оси Oy — x = 0.

Пример с решением

Найди координаты точки A.

xy0−6−4−2246−4−224A
A(; )
  1. От точки A опускаем перпендикуляр на ось Ox: x = −2.
  2. На ось Oy: y = 2.
  3. A(−2; 2) — сначала x, потом y.

Ответ: A(−2; 2)

Задания для тренировки

  1. 1. Найди координаты точки A.

    xy0−6−4−2246−4−24A
    A(; )

  2. 2. В какой координатной четверти лежит точка?

    M(−66; −64)
    IIIIIIIVна оси

  3. 3. Найди координаты точки A.

    xy0−6−4−2246−4−224A
    A(; )

  4. 4. Какая точка имеет координаты (−2; −1)?

    xy0−6−446−424АБВГ
    АБВГ

  5. 5. Найди абсциссу точки пересечения отрезка AB с осью Ox.

    xy0−6−4−2246−4−224AB
    x =

  6. 6. Найди площадь прямоугольника ABCD: A(−1; 1), B(−1; 3), C(10; 3), D(10; 1). ★

    S =
Ответы
  1. A(−1; 2)
  2. III
  3. A(3; 4)
  4. В
  5. −1
  6. 22

Частые ошибки

  • Меняет местами x и y.
  • Путает номера четвертей (их считают против часовой стрелки).
  • Отсчитывает клетки не от начала координат.

Как закрепить дома: Играйте в «морской бой» на координатной плоскости с отрицательными координатами.

Цели обучения типовой программы
  • 6.3.1.1 — усвоить понятие координатной плоскости
  • 6.3.1.2 — строить прямоугольную систему координат
  • 6.3.1.3 — понимать, что упорядоченная пара чисел (х; у) задает точку в прямоугольной системе координат и каждой точке соответствует единственная упорядоченная пара чисел, называемые координатами точки
  • 6.3.1.4 — строить точку в системе координат по ее координатам и находить координаты точки, заданной на координатной плоскости
  • 6.3.2.3 — находить графическим способом координаты точек пересечения отрезков, лучей или прямых друг с другом, с координатными осями

Осевая и центральная симметрия

Ребёнок научится: строит точку, симметричную относительно осей и начала координат, узнаёт фигуры с центром симметрии.

Пройти урок онлайн

Правило

Относительно оси Ox у симметричной точки меняется знак ординаты: (3; 2) → (3; −2). Относительно оси Oy — знак абсциссы: (3; 2) → (−3; 2). Относительно начала координат (центральная симметрия) — оба знака: (3; 2) → (−3; −2). Центр симметрии есть у фигуры, если при повороте на 180° вокруг центра она совпадает сама с собой: у квадрата, прямоугольника, круга, параллелограмма.

Пример с решением

Найди точку, симметричную точке A(23; −15) относительно начала координат.

A′(; )
  1. Относительно начала координат меняются знаки обеих координат.
  2. A′(−23; 15).

Ответ: A′(−23; 15)

Задания для тренировки

  1. 1. Найди точку, симметричную точке A(22; 20) относительно оси Oy.

    A′(; )

  2. 2. Найди точку, симметричную точке A(−17; 14) относительно начала координат.

    A′(; )

  3. 3. Есть ли у фигуры центр симметрии? (параллелограмм)

    данет

  4. 4. Точку B отразили симметрично относительно оси Ox. Найди координаты получившейся точки B′.

    xy0−6−4−2246−4−224B
    B′(; )

  5. 5. Есть ли у фигуры центр симметрии? (параллелограмм)

    данет

  6. 6. Треугольник ABC отразили симметрично относительно начала координат. Найди координаты вершины C′. ★

    xy0−6−4−2246−4−224ABC
    C′(; )
Ответы
  1. A′(−22; 20)
  2. A′(17; −14)
  3. да
  4. B′(1; 4)
  5. да
  6. C′(−1; 2)

Частые ошибки

  • Меняет знак не той координаты.
  • Путает симметрию относительно оси и относительно начала координат.
  • Считает, что у равностороннего треугольника есть центр симметрии.

Как закрепить дома: Ставьте кляксу гуашью на сложенном листе и разворачивайте — так видно осевую симметрию.

Цели обучения типовой программы
  • 6.3.1.5 — усвоить понятия осевой и центральной симметрии
  • 6.3.1.6 — иметь представление о фигурах, имеющих ось или центр симметрии; распознавать симметричные и центрально-симметричные фигуры
  • 6.3.2.5 — строить точки и фигуры, симметричные относительно начала координат и координатных осей в прямоугольной системе координат

Пространственные фигуры и вектор

Ребёнок научится: узнаёт пространственные фигуры по изображению, считает грани, рёбра и вершины пирамиды и призмы, находит координаты вектора.

Пройти урок онлайн

Правило

На изображении пространственной фигуры невидимые рёбра рисуют пунктиром. У n-угольной пирамиды n + 1 грань, 2n рёбер и n + 1 вершина; у n-угольной призмы n + 2 грани, 3n рёбер и 2n вершин. Вектор — направленный отрезок AB (начало A, конец B); его координаты — разности координат конца и начала: (xB − xA; yB − yA).

Пример с решением

Как называется фигура?

кубконуспирамидапрямоугольный параллелепипед
  1. 6 одинаковых квадратных граней — куб.

Ответ: куб

Задания для тренировки

  1. 1. Как называется фигура?

    шарцилиндрконускуб

  2. 2. Как называется фигура?

    прямоугольный параллелепипедшарцилиндрпирамида

  3. 3. Сколько граней у 9-угольной призмы?

    Граней:

  4. 4. Найди координаты вектора AB.

    xy0−6−4−2246−4−224AB
    AB(; )

  5. 5. Сколько граней у 5-угольной призмы?

    Граней:

  6. 6. Вектор AB имеет координаты (12; 15), начало A(12; −18). Найди координаты конца B. ★

    B(; )
Ответы
  1. цилиндр
  2. прямоугольный параллелепипед
  3. 11
  4. (4; 1)
  5. 7
  6. B(24; −3)

Частые ошибки

  • Не считает основание пирамиды гранью.
  • Вычитает координаты в обратном порядке: (xA − xB; yA − yB).
  • Путает пирамиду и конус, призму и цилиндр.

Как закрепить дома: Посчитайте грани, рёбра и вершины у коробки, пакета молока, шоколадки-«Тоблерона» (треугольная призма).

Цели обучения типовой программы
  • 6.3.2.4 — распознавать фигуру по её изображению и изображать плоские и пространственные фигуры
  • 6.3.4.1 — знать определение вектора и изображать его