Многоугольники, круг, параллелепипед — 5 класс

Многоугольник и диагонали, окружность, круг и круговой сектор, прямоугольный параллелепипед и куб, развёртки, задачи на разрезание фигур.

Многоугольник, окружность, круг и круговой сектор

Ребёнок научится: считает диагонали многоугольника, связывает радиус и диаметр, находит градусную меру кругового сектора.

Пройти урок онлайн

Правило

Многоугольник с n вершинами имеет n сторон; из одной вершины можно провести n − 3 диагонали (к себе и двум соседям — нельзя), всего диагоналей n · (n − 3) : 2. Диаметр окружности — два радиуса: d = 2r. Круговой сектор — часть круга между двумя радиусами; весь круг — 360°, поэтому сектор в 1/4 круга — 90°, в 1/8 — 45°.

Пример с решением

Сколько диагоналей можно провести из одной вершины 12-угольника?

Диагоналей:
  1. Из вершины нельзя провести диагональ к ней самой и к двум соседним вершинам (это стороны).
  2. 12 − 3 = 9.

Ответ: 9

Задания для тренировки

  1. 1. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины 8-угольника?

    Диагоналей:

  2. 2. Диаметр окружности 52,2 см. Найди радиус.

    r = см

  3. 3. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины 10-угольника?

    Диагоналей:

  4. 4. Круг разделили на 12 равных секторов и закрасили 6. Какова градусная мера закрашенной части?

    °

  5. 5. Сектор занимает 10 % круга. Найди его градусную меру. ★

    °

  6. 6. Сколько всего диагоналей у 17-угольника? ★

    Диагоналей:
Ответы
  1. 5
  2. 26,1 см
  3. 7
  4. 180
  5. 36
  6. 119

Частые ошибки

  • Считает, что из вершины выходит n − 1 диагональ (включает стороны).
  • Не делит на 2 и считает каждую диагональ дважды.
  • Путает градусы сектора и его долю.

Как закрепить дома: Режьте круглый пирог на 6 или 8 равных кусков и спрашивайте: «Сколько градусов в одном куске?»

Цели обучения типовой программы
  • 5.3.1.7 — усвоить понятие многоугольника.
  • 5.3.1.2 — усвоить понятия окружности, круга и их элементов (центр, радиус и диаметр)
  • 5.3.1.3 — строить окружность с помощью циркуля
  • 5.3.1.6 — усвоить понятие кругового сектора

Прямоугольный параллелепипед и куб: рёбра, поверхность, развёртки

Ребёнок научится: находит сумму длин рёбер и площадь поверхности параллелепипеда и куба, узнаёт развёртку куба.

Пройти урок онлайн

Правило

У прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер — по 4 каждого измерения: сумма длин рёбер = 4 · (a + b + c). Поверхность — 6 прямоугольных граней, попарно равных: S = 2 · (ab + bc + ac). У куба все рёбра равны: S = 6a². Развёртка — фигура из всех граней, из которой складывается модель.

Пример с решением

Измерения прямоугольного параллелепипеда: 7 см, 24 см, 14 см. Найди сумму длин всех рёбер.

см
  1. По 4 ребра каждой длины: 4 · (7 + 24 + 14) = 4 · 45 = 180 (см).

Ответ: 180 см

Задания для тренировки

  1. 1. Измерения прямоугольного параллелепипеда: 17 см, 26 см, 27 см. Найди сумму длин всех рёбер.

    см

  2. 2. Измерения прямоугольного параллелепипеда: 7 см, 11 см, 26 см. Найди сумму длин всех рёбер.

    см

  3. 3. Найди площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями 20 см, 23 см и 10 см.

    S = см²

  4. 4. Площадь поверхности куба 24 см². Найди его ребро.

    a = см

  5. 5. Найди площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями 27 см, 5 см и 8 см.

    S = см²

  6. 6. Какая из фигур — развёртка куба? ★

    АБВГ
    АБВГ
Ответы
  1. 280 см
  2. 176 см
  3. 1780 см²
  4. 2 см
  5. 782 см²
  6. А

Частые ошибки

  • Складывает только три ребра вместо двенадцати.
  • Считает площадь трёх граней и забывает умножить на 2.
  • Путает площадь поверхности и объём.

Как закрепить дома: Посчитайте, сколько бумаги нужно, чтобы обернуть коробку с подарком, измерив её линейкой.

Цели обучения типовой программы
  • 5.3.1.8 — иметь представление о прямоугольном параллелепипеде (кубе) и их развертках
  • 5.5.2.9 — строить плоские фигуры и развёртки пространственных геометрических фигур (куба и прямоугольного параллепипеда)

Задачи на разрезание и складывание фигур

Ребёнок научится: решает задачи на разрезание прямоугольников и квадратов и складывание фигур, считает получившиеся площади и периметры.

Пройти урок онлайн

Правило

При разрезании площадь не меняется: сумма площадей частей равна площади фигуры. Периметр ведёт себя иначе: у каждой части появляется новая сторона по линии разреза, поэтому сумма периметров частей больше периметра фигуры на две длины разреза. Если из угла прямоугольника вырезать квадрат, периметр не изменится — вырезанные стороны «переезжают» внутрь.

Пример с решением

Реши задачу

Прямоугольник 77 см × 56 см разрезали на квадраты со стороной 7 см. Сколько квадратов получилось?

  1. По длине: 77 : 7 = 11 квадратов, по ширине: 56 : 7 = 8.
  2. 11 · 8 = 88.
  3. Проверка площадью: 4312 : 49 = 88.

Ответ: 88

Задания для тренировки

  1. 1. Реши задачу

    Прямоугольник 45 см × 27 см разрезали на квадраты со стороной 9 см. Сколько квадратов получилось?

  2. 2. Реши задачу

    Прямоугольник 24 см × 48 см разрезали на квадраты со стороной 4 см. Сколько квадратов получилось?

  3. 3. Из угла прямоугольника 27 см × 18 см вырезали квадрат со стороной 3 см. Найди площадь оставшейся фигуры.

    27 см18
    S = см²

  4. 4. Два одинаковых прямоугольника 14 см × 5 см приложили друг к другу короткими сторонами. Найди периметр получившегося прямоугольника.

    P = см

  5. 5. Из угла прямоугольника 21 см × 11 см вырезали квадрат со стороной 3 см. Найди периметр оставшейся фигуры.

    21 см11
    P = см

  6. 6. Реши задачу ★

    Квадрат разрезали на 4 равных прямоугольника параллельно одной из сторон. Сумма периметров всех прямоугольников 320 см. Найди сторону квадрата.

Ответы
  1. 15
  2. 72
  3. 477 см²
  4. 66 см
  5. 64 см
  6. 32 см

Частые ошибки

  • Считает, что при разрезании периметры частей в сумме дают периметр фигуры.
  • Думает, что после вырезания уголка периметр уменьшается.
  • Путает площадь и периметр.

Как закрепить дома: Режьте лист бумаги и измеряйте: «Был периметр 1 м, стало два куска — сколько вместе?» — это убеждает лучше правила.

Цели обучения типовой программы
  • 5.3.2.1 — решать задачи с помощью разрезания и складывания фигур